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Mathematik

"Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben." - Galileo Galilei

Mathematik ist für alle Schüler der Jahrgangsstufen 5 bis 12 verpflichtend. Die Unterrichtsinhalte G8 sind in den entsprechenden Rahmenplänen des Hessischen Kultusministeriums vorgegeben und werden für die Jahrgangsstufen 5 bis 9 bereits durch das neu konzipierte Schulcurriculum präzisiert.

Die Mathematik ...

• Vermittelt wertfreies, folgerichtiges Denken
• Erlaubt das widerspruchsfreie Arbeiten mit wohldefinierten Gegenständen der menschlichen Anschauung
• Ist Grundlage für Naturwissenschaft und Technik
• Liefert Wirtschaft und Politik quantitative und qualitative Methoden zur Problemlösung und Entscheidungsfindung

 
Der Mathematikunterricht ist darauf ausgerichtet, den Schülern neben grundlegenden Rechentechniken, mathematische Strukturen, analytische Fertigkeiten, logisches Denken so wie Beweis- und Argumentationstechniken mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad und steigender Komplexität zu vermitteln.
 
Dabei wird den Schülern die Möglichkeit eröffnet, ihre Kenntnisse und Fertigkeiten in verschiedenen Wettbewerben zu erproben. Hierzu zählen Känguru der Mathematik (Jahrgangsstufen 5 und 6), Mathematikwettbewerb des Landes Hessen (Jahrgangsstufe 8), Mathematik ohne Grenzen (Jahrgangsstufe 9 und E-Phase), Tag der Mathematik (Q2-Phase) und die Mathematik-Olympiade (sämtliche Jahrgangsstufen).
 
Besonders befähigten Schülern und Schülerinnen steht ab der Jahrgangsstufe 9 zusätzlich der Besuch der wöchentlich stattfindenden N.E.R.D.-AG offen, in der spezielle Themen aus der Mathematik und der Informatik, die den Rahmen des Standardcurriculums sprengen, in einer freundlichen und gleichzeitig leistungsorientierten Atmosphäre behandelt werden.

Sekundarstufe I:

Jahrgangsstufe 5 (4 Wochenstunden)
 
 
 
 
  

 
 
 
 

Jahrgangsstufe 6 (5 Wochenstunden)
 
 
 
 
 

 
 
 
 

Jahrgangsstufe 7 (4 Wochenstunden)
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Jahrgangsstufe 8 (5 Wochenstunden)
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Jahrgangsstufe 9 (4 Wochenstunden)

Sekundarstufe II:

Euler

Mathematik in der E-Phase findet weiterhin im Klassenverband statt.

Die hier vorgenommene Verteilung der Kursthemen auf die Halbjahre E1/E2 kann den Bedürfnissen der jeweiligen Lerngruppe angepasst werden.

E1 (Analysis I):

Unterrichtsinhalte

Funktionsbegriff und Betrachtung elementarer Funktionsklassen aus der Sekundarstufe I

• Definitionsmengen, Wertemengen, Funktionsterme, Funktionsgleichungen, Funktionsgraphen, Symmetrie, Wertetabellen, Umkehrfunktionen

Exponentialfunktionen

• Zugang über realitätsbezogene Beispiele: Wachstums und Zerfallsprozesse, Verzinsung, Verdopplungs- und Halbierungszeiten als Parameter, Graphen und Eigenschaften, Vergleich mit linearen, quadratischen und kubischen Funktionen.

Logarithmen

• Logarithmieren neben dem Radizieren als zweite Möglichkeit der Umkehrung des Potenzierens, Logarithmengesetze, verständiger Gebrauch des Taschenrechners.

Logarithmusfunktionen

• Wiederaufgreifen des Begriffs der Umkehrfunktion, Umkehrung der Exponentialfunktion, Eigenschaften der Logarithmusfunktion.

 
Modellierung von Wachstums- und Prozessmodellen

• Modellierung von Prozessen aus den Natur-, Sozial- oder Wirtschaftswissenschaften anhand gegebenen Datenmaterials z. B. aus naturwissenschaftlichen oder demoskopischen Untersuchungen, mittels Exponential- oder anderer bekannter Funktionen, auch durch Nutzung von Rechnern, exemplarischer Vergleich verschiedener Modelle und Beurteilung ihrer Grenzen.

Allgemeine Sinusfunktion

• Bogenmaß, Strecken/Stauchen und Verschieben des Graphen der Sinusfunktion, PC-Einsatz

E2 (Analysis I):

Leibniz

Unterrichtsinhalte

Grenzwerte

• Wurzeln als Grenzwerte von Intervallschachtelungen, Näherungsweise Bestimmung von ∏ durch infinitesimale Methoden. Asymptotisches Verhalten bei Funktionen,

 
Einführung des Ableitungsbegriffes

• Änderungsrate einer Funktion, Steigung eines Graphen, Differenzenquotient, Grenzwert des Differenzenquotienten, Bestimmung durch algebraische Vereinfachung des Quotienten, infinitesimale Sichtweise.

• Ableitung einer Funktion an einer Stelle, Ableitungsfunktion, Berechnung von Ableitungen elementarer Funktionen:

• Verknüpfen geometrischer und algebraischer Sichtweisen, Ableitungsfunktionen, höhere Ableitungsfunktionen.

Typische Ableitungskalküle

• Summen- und Faktorregel

 
Funktionsuntersuchung mit Hilfe des Ableitungskalküls

• Symmetrie, Monotonie- und Krümmungsverhalten, relative und absolute Extremalpunkte, Wendepunkte, vollständige Kurvendiskussion bei ganzrationalen Funktionen (schwerpunktmäßig), aber auch Beispiele aus anderen Funktionsklassen und Funktionenscharen.

 
Anwendungen des Ableitungskalküls

• Extremalprobleme, Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften

Q1 (Analysis II):

Riemann

Die Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Fundament von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton im 17. Jahrhundert unabhängig voneinander entwickelt wurde. Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration.

Unterrichtsinhalte GK+LK

Einführung in die Integralrechnung

• Berechnung von Flächeninhalten durch Approximation und Grenzprozesse, Entwicklung der Grundvorstellung des Integralbegriffs als verallgemeinerte Summation in Anwendungszusammenhängen, Definition des bestimmten Integrals, Definition des bestimmten Integrals als Grenzwert von Ober- und Untersummen
• Eigenschaften und Anwendung des bestimmten Integrals (Summen- und Faktorregel)
• Begriff der Stammfunktion und unbestimmtes Integral
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und Stammfunktionsintegrale, Flächeninhaltsberechnung

Erweiterung und Verknüpfung der Differential- und Integralrechnung

• Produkt- und Kettenregel
• Lineare Substitution, Herausarbeitung des Zusammenhanges zur Kettenregel
• Verständiger Umgang mit den erarbeiteten Kalkülen der Analysis in bekannten Funktionsklassen: ganzrationale Funktionen, einfache rationale Funktionen, Exponential- und einfache Trigonometrische Funktionen

Anwendung und Vertiefung der Differential und Integralrechnung

• Funktionsuntersuchungen, Extremalprobleme, Volumenintegral (Rotation um die x-Achse)

Zusätzliche Unterrichtsinhalte LK

• Analyse des Integralbegriffs, Bedeutung der Beschränktheit und Stetigkeit von Funktionen
• Numerische Integration
• Quotientenregel, Ableitung von Umkehrfunktionen
• Mathematisierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen
• Partielle Integration, Zusammenhang zur Produkt- und Kettenregel
• Volumenintegral (Rotation um die y-Achse)
• Integralbegriff in Anwendungszusammenhängen, Approximation von Funktionen: Asymptotisches Verhalten, Approximation durch Polynome, Ausgleichskurven als mathematische Modelle für gegebene Daten

Q2 (Lineare Algebra und Analytische Geometrie):

Noether

Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln gelöst werden. Zentraler Begriff ist dabei der des Vektors, der einerseits als eine gerichtete Größe und andererseits als ein Element eines abstrakten Vektorraums verstanden werden kann. Die Verbindung zwischen linearen Abbildungen, Matrizen und Vektorräumen stellt die Brücke zur Linearen Algebra her.

Unterrichtsinhalte GK+LK

Analytische Geometrie

• Vektoren
• Geraden und Ebenen (Parameter- und Koordinatendarstellung)
• Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum. Zur Vertiefung können Geradenscharen, Ebenenscharen betrachtet werden
• Skalarprodukt, Länge eines Vektors, Winkel zwischen zwei Vektoren, Orthogonalität, Normalenform der Ebene
• Abstandsbestimmungen (außer Abstandsbestimmungen bei windschiefen Geraden), Schnittwinkel von Geraden und Ebenen im Raum, Anwendungen des Skalarproduktes

Lineare Gleichungssysteme

• Anwendungen linearer Gleichungen
• Systematisches Lösungsverfahren, Struktur und geometrische Interpretation der Lösungsmenge, Gauss-Jordan-Verfahren

Zusätzliche Unterrichtsinhalte LK

• Vektorprodukt mit Anwendungen
• Normalenform von Geraden, Abstandsbestimmungen bei windschiefen Geraden
• Begriff des Vektorraums, Basis und Dimension
• Begriff der Matrix, Produkt von Matrizen, Inverse Matrix, Anwendungen in der Geometrie und bei nicht-geometrischen Problemen, Determinanten, Zusammenhang mit affinen Abbildungen

Q3 (Stochastik):

Gauss

Unterrichtsinhalte GK+LK

Grundlegende Begriffe der Stochastik

• Zufallsexperimente und Ereignisse
• Absolute und relative Häufigkeit, Häufigkeitsverteilungen und deren graphische Darstellungen, Lage- und Streumaße, Quantile
• Wahrscheinlichkeitsbegriff, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Empirisches Gesetz der großen Zahlen

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

• Additionssatz, Pfadregeln (Summe, Produkt)
• Unabhängigkeit von zwei Ereignissen, Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Kombinatorische Zählprobleme

• Geordnete Stichprobe (mit/ohne Zurücklegen)
• Ungeordnete Stichprobe (ohne Zurücklegen)

Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsgrößen

• Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße
• Bernoulliketten, Binomialverteilung

Hypothesentest

• Ein- und zweiseitiger Test, Annahmebereich, Ablehnungsbereich, Fehler erster und zweiter Art

Zusätzliche Unterrichtsinhalte LK

• Wahrscheinlichkeitsverteilungen mehrerer Zufallsgrößen (Summe oder Produkt)
• Normalverteilung, Dichte- und Verteilungsfunktion, Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
• Operationscharakteristiken

Q4:

Gödel

Beispiele für optionale Kursthemen

Gewöhnliche Differentialgleichungen

• Richtungsfeld, Differentialgleichungen erster Ordnung, Existenz- und Eindeutigkeitssatz, elementare Lösungsmethoden, Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Potenzreihen

• Folgen, Reihen, ganzrationale Funktionen als Näherungsfunktionen, Exponentialreihe, Potenzreihen, Taylorsche Formel, Taylor-Reihen

Numerische Näherungsverfahren/Approximation von Funktionen

• Interpolation durch Polynome, Approximationsverfahren, Fixpunkte, Newton-Verfahren, Numerische Integration (Sehnen-Trapezverfahren, Simpsonsche Regel), Regressionsmodelle

Kreis und Kugel

• Kreis in der Ebene, Kugel, Ebene und Gerade, Lagebeziehungen zwischen Kugel, Ebenen und Geraden, Schnittmengen

Kegelschnitte

• Vektorgleichung des Doppelkegels, Scheitelgleichung der Kegelschnitte, Arten der Kegelschnitte (Kreis, Parabel, Ellipse und Hyperbel)

Praktische Stochastik

• Operations-Charakteristik (Anwendung der Binomialverteilung, Anteiltest, Anwendung der Normalverteilung, Mittelwerttest, Gütefunktion), Schätzung des Mittelwerts einer normalverteilten Grundgesamtheit, Vorzeichentest, Chi-Quadrat-Test, Monte-Carlo-Methode, Markow-Ketten, Simulationen

Determinanten und Matrizen

• Lineare Gleichungssysteme und Determinanten, Determinanten und Volumen, Abbildungsmatrizen und Determinanten

Affine Abbildungen

• Definition und Eigenschaften affiner Abbildungen, Darstellung affiner Abbildungen, Anwendungen in der fraktalen Geometrie

Mathematische Strukturen und Beweisverfahren

• Gruppen und Körper, Beweisverfahren: direkter und indirekter Beweis, vollständige Induktion

Komplexe Zahlen

• Einführung, Definition und Darstellung komplexer Zahlen, Rechnen mit komplexen Zahlen, Anwendungen